Mathematical Ramblings

Um ônibus faz o percurso entre as cidades A e B a uma velocidade de $72\ km/h$. ao chegar à cidade B, retorna para A com uma velocidade de $48\ km/h$. Qual é a sua velocidade média?

$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{48}} = \dfrac{2 \cdot 144}{2 + 3} = \fbox{$57,6\ km/h$}$

O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a $200$ metros.

 

 

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a $40$ km/h, partindo do ponto $X$, demoraria para chegar até o ponto $Y$?

No mínimo, $5$ quadras serão percorridas, ou seja, um total de $1$ km.

$t = \dfrac{60}{40} = \fbox{$1,5\ \text{min}$}$

Seja um veículo de massa $1200\ kg$ deslocando-se sobre uma rodovia em forma de $\log x$ com uma velocidade de $20\ m/s$. Determine a força exercida pelos pneus sobre a rodovia para $x = 4$.

Resolução:

$F = \dfrac{1200 \cdot 400}{\mathcal{RC_A}_{[\log x, 4]}} = \dfrac{480000}{\dfrac{17\sqrt{17}}{4}} \approx \fbox{$2,7 \cdot 10^4\ N$}$

Entre com o valor (número real), a unidade de medida em que está expresso, e a unidade à qual deseja converter, separados por vírgula ",":

Exemplos:

Input: "120, C, F". Output: "248".
Input: "265.2, m, cm". Output: "26520".




Conversão:

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de queda ele percorre $1/4$ da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

Resolução:

De $S = S_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ :

$S = \dfrac{at^2}{2}$

Se no último segundo o corpo percorre $\dfrac{1}{4}$  da altura, antes do último segundo terá percorrido $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ da altura.

$\dfrac{3}{4}S = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{at^2}{2} = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$4t^2 - 8t + 4 = 3t^2$

$t^2 - 8t + 4 = 0\ , \mathbb{U} = (1, +\infty)$

$t = (4 + 2\sqrt{3})\ s$

Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instante eles se encontram?
Resolução:

Chamemos de $a_1$ a aceleração de um móvel, e de $a_2$ a aceleração do outro.

De $v = v_0 + at$:

$4a_1 = (4-3)a_2\ \therefore\ a_2 = 4a_1$

De $s = s_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{a_1 t^2}{2} = \dfrac{4a_1 (t-3)^2}{2}$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$t = 6\ s$ ($t$ deve ser maior que $3\ s$).

O pneu de um automóvel a $105,5 km/h$ gira a uma velocidade de $700$ rotações por minuto. Qual é o diâmetro desse pneu?

Resolução:

O pneu percorrerá $\dfrac{105,5}{60} \cdot 1000 \approx 1758$ metros em um minuto.

$1758 = 700 \cdot \pi \cdot d$

$d \approx 0,8$

$d \approx 80 cm$

Uma partícula está em movimento circular, de raio igual a $10\ cm$, com a velocidade angular de $0,20\ rad/s$. Determine a velocidade linear, em $km/h$.

$v = 0,10\ \cdot\ 0,20\ \cdot\ 3,6\ =\ 7,2\ \cdot\ 10^{-2}\ km/h$

Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.

a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$

Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
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b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.

(ITA-SP) Um barco, com motor em regime constante, desce um trecho de um rio em $2,0$ horas e sobe o mesmo trecho em $4,0$ horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com motor desligado?

Física. Gualter & André. Volume único.

Resolução:

Sejam $v$ a velocidade do barco, $v_c$ a velocidade da correnteza, e $d$ a distância percorrida.

O tempo de viagem requisitado é o quociente $\dfrac{d}{v_c}$.

No primeiro percurso, teremos $\dfrac{d}{v + v_c} = 2$.

No segundo percurso, teremos $\dfrac{d}{v - v_c} = 4$.

Invertendo as duas equações, teremos:

$\dfrac{v + v_c}{d} = \dfrac{v}{d} + \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{v - v_c}{d} = \dfrac{v}{d} - \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$

Subtraindo a segunda da primeira, teremos:

$ 2\dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$

Logo o tempo de percurso deixando-se o barco a mercê unicamente da correnteza será:

$\dfrac{d}{v_c} = 8$ horas.

Uma curiosidade interessante:

O recorde mundial de salto com vara é do ucaniano Sergei Bubka, com $6,14 m$.

Mas antes vamos pensar sobre o recorde mundial dos 100 metros rasos.

Seu detentor é o jamaicano Usain Bolt, com $9,58$ segundos.

Vamos considerar um homem ainda mais rápido, com velocidade de $\dfrac{100}{9,5}\ \approx\ 10,5 m/s$.

Em condições ideais, se o Bolt fosse saltador, toda sua energia cinética será transferida para deformação da vara, de tal forma que toda sua velocidade seria transferida para a direção vertical.

Assim temos: $0\ =\ 10,5^2 - 2\cdot 9,8\cdot h\ \Rightarrow\ h\ =\ 5,625 m$. Aproximadamente meio metro abaixo da marca mundial.

É fácil de encontrar em livros que para converter $m/s$ para $km/h$ basta multiplicar o coeficiente por $3,6$. Mas e quanto à aceleração?

$x\ \frac{m}{s^2}\ =\ x\ \frac{10^{-3}km}{\frac{1}{3600^2} h^2}\ =\ x\cdot 12960\ \frac{km}{h^2}$

$12960$ é o fator multiplicativo. Ou divisor quando da conversão inversa.