Mathematical Ramblings

A área do triângulo $\Delta PAB$ é $12$. Seja $a = AB$ a base e $h$ a altura de tal triângulo. $ah = 24$.

Sejam $CD = a' = \dfrac{a}{2}$ e $h' = \dfrac{3}{2} \cdot h$ a base e a altura, respectivamente, do triângulo $\Delta PCD$, $a'h' = 18$. Logo a área do triângulo $\Delta PCD$ é $9$.

Como $\Delta PCD\ \sim\ \Delta PEF$ e a razão de semelhança é $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{3}{2}$, a área de $\Delta PEF$ é $4$. Logo a área da região hachurada é $\fbox{$5$}$.

Seja a fórmula de Herão $A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ para o cálculo da área; seja, sem perda de generalidade o lado de medida $a$ que varia a uma velocidade $v$, ou seja, $a = vt + a_0$.

$p = \dfrac{vt + a_0 + b + c}{2}$

${\tiny \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{[v(-vt - a_0 + b + c) - v(vt + a_0 + b + c)](vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c) + (vt + a_0 + b + c)(- vt - a_0 + b + c)[v(vt + a_0 - b + c) + v(vt + a_0 + b - c)]}{8\sqrt{(vt + a_0 + b + c)(-vt - a_0 + b + c)(vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c)}}}$,

com $b + c > vt + a_0$ e $vt + a_0 > |b - c|$.

Uma folha de papel retangular $ABCD$, de $10\ cm$ por $20\ cm$, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos $A$ e $C$ sobre a diagonal $BD$, de modo que as dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.

Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?

Sejam $E$ o ponto de $\overline{AD}$ e $F$ o ponto de $\overline{AB}$ onde se encontram as dobras. Notemos que $E$ é ponto médio de $\overline{AD}$ e que $F$ é ponto médio de $\overline{AB}$.

$\left(\Delta ABD \sim \Delta AFE\right)\ \wedge \left(\text{A razão de semelhança é}\ \dfrac{1}{2}\right)\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \text{Área de}\ \Delta AFE\ =\ \dfrac{100}{4} = 25\ cm^2$

A área colorida após as dobras terá medida $(100 - 25 \cdot 2) \cdot 2 = \fbox{$100\ cm^2$}$.

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de $3\ \text{km}\ \text{x}\ 2\ \text{km}$ que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio $1\ \text{km}$ a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, qual a porcentagem do terreno que coube a João?

Resolução:

A área do triângulo que coube a João é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{km}^2$.

A área total é de $6\ \text{km}^2$, assim, o percentual é de $\fbox{$\dfrac{100 \sqrt{3}}{9}\ \%$}$.

A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de $1:150$.

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de $1\ \text{cm}$ em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?

$\dfrac{2850}{150} + 2 = 21$

$\dfrac{3600}{150} + 2 = 26$

As dimensões mínimas da folha são $\fbox{$26\ \text{cm}\ \text{x}\ 21\ \text{cm}$}$.

Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado $AC$ e o ângulo formado no vértice $A$.

$b^2 = 100 + 64 - 160\cos 50^\text{o}\ \Rightarrow\ b = 2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}} \approx\ \fbox{$7,8$}$

$\dfrac{\sin 50^\text{o}}{2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} = \dfrac{\sin \hat{A}}{8}\ \Rightarrow\ \hat{A} = \arcsin \dfrac{4\sin 50^\text{o}}{\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} \approx\ \fbox{$51,6^\text{o}$}$

Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.

$h = 8 + 8\tan (105^\text{o} - 45^\text{o}) = 8 + 8\sqrt{3} = \fbox{$8(1 + \sqrt{3})\ \text{m}$}$

João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.

$8h = 2\sin \dfrac{\pi}{6} = 1\ \therefore\ h = 0,125 \text{m} = \fbox{$12,5 \text{cm}$}$

Encontrar o valor de $x$.

$x = \dfrac{3\ \text{cm}}{\cos 30^o} = \fbox{$2\sqrt{3}\ \text{cm}$}$