$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
Última atualização estrutural do weblog: 07-07-2023.

Este weblog utiliza serviços de terceiros, e os mesmos podem não funcionar adequadamente, o que não depende de mim.

Se as expressões matemáticas não estiverem satisfatoriamente visíveis, você pode alterar as configurações de exibição no menu contextual.

Este weblog pode passar por melhorias. Caso não teve uma boa experiência hoje, futuramente os problemas poderão estar corrigidos.

Em caso de não ser a mim mais possível realizar manutenções, como, por exemplo, devido a falecimento ou desaparecimento, alguns links podem ficar quebrados e eu não responder mais a comentários. Peço compreensão.
Mostrando postagens com marcador médias. Mostrar todas as postagens
Mostrando postagens com marcador médias. Mostrar todas as postagens

quarta-feira, 19 de julho de 2023

Exercício: razão entre homens e mulheres dadas as médias das idades.

A média aritmética das idades dos candidatos a um concurso público federal é de $36$ anos. Quando separados por sexo, essa média é de $37$ anos para o grupo do sexo masculino e $34$ para o grupo do sexo feminino. Qual a razão entre o número de homens e mulheres?

Sejam $h$ o número de homens, $H$ a soma das idades dos homens, $m$ o número de mulheres, e $M$ a soma das idades das mulheres.

$\begin{array}{l c c c r}\dfrac{H + M}{h + m} = 36 & & \dfrac{H}{h} = 37 & & \dfrac{M}{m} = 34\end{array}$

 

$\dfrac{37h + 34m}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ 34 + \dfrac{3h}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{h + m}{3h}\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{m}{3h}\ \Rightarrow\ \fbox{$\dfrac{h}{m} = 2$}$

domingo, 16 de outubro de 2022

Sejam $p$ e $q$ reais positivos, mostre a média harmônica é menor ou igual à média geométrica.

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}} + \dfrac{1}{\sqrt{q}}\right)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \ge \dfrac{2}{\sqrt{pq}}\ \Rightarrow\ \underset{MH}{\underbrace{\dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}}} \le \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$


Quod Erat Demonstrandum.

domingo, 9 de outubro de 2022

Exercício: reajuste da media com a correção de uma nota.

A professora Brenda aplicou uma prova para $25$ estudantes e cometeu um erro ao escrever a nota da aluna Aline, registrando $3,6$ ao invés de $8,6$. Com esse erro, a média das notas foi $7,2$. Qual passou a ser a média das notas depois de corrigido esse erro?

Seja $S$ a soma das notas com o erro.


$S = 25 \cdot 7,2 = 180$


A nova média será calculada $\dfrac{S + 5}{25} = \dfrac{185}{25} = \fbox{$7,4$}$.

sábado, 8 de outubro de 2022

Média aritmética maior que a média geométrica de dois reais não negativos.

Sejam $p$ e $q$ dois reais não negativos, mostre que sua média aritmética é maior que sua média geométrica.

 

$(p - q)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ p^2 + q^2 \ge 2pq\ \Rightarrow\ p^2 + 2pq + q^2 \ge 4pq\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{(p + q)^2}{4} \ge pq\ \overset{p, q \ge 0}{\Rightarrow}\ \underset{MA}{\underbrace{\dfrac{q + q}{2}}}\ \ge\ \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$


Quod Erat Demonstrandum.

terça-feira, 6 de agosto de 2019

Calculadora: média aritmética ponderada.

Entre com os pares peso e número a terem a média geométrica calculada, separados por ponto e vírgula ";". Um número é separado do seu peso por vírgula ",", o primeiro elemento do par não nulo. O separador de casas decimais é o ponto ".":

Exemplo: entrando com "5, 3; 10, 1.5", a saída será: "2".




Média aritmética ponderada:

Calculadora: média harmônica.

Entre com os números a terem a média harmônica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, 8.5".
Output: "136 / 25".




Média harmônica:

Calculadora: média geométrica.

Entre com os números a terem a média geométrica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "1.5, 2, 9".
Output: "3".




Média geométrica:

sábado, 3 de agosto de 2019

Calculadora: média aritmética.

Entre com os números a terem a média aritmética calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".




Média aritmética:

quarta-feira, 5 de dezembro de 2012

Demonstração: dados $(p,q)\in{\mathbb{R}^*_+}^2$, $MG_{p,q} \ge MH_{p,q}$.

Dados dois reais positivos $p$ e $q$, chamemos de $MG_{p,q}$ a média geométrica entre os mesmos, e $MH_{p,q}$ a média harmônica. Consideremos ainda um real $x$ tal que:

$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$

Desenvolvendo, teremos:

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$

$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$

Consideremos agora duas possibilidades:

a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$

b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$

Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.

Velocidade como média harmônica e aritmética no MRU.

Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.

a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$

Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__

b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.

Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.

Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.

1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$

Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__

2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:

$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$

Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__

3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$

Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.

Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.

(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.

a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.

b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?

Resolução:

a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.

b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:

$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$

Logo:

$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$

terça-feira, 4 de dezembro de 2012

Exercício: determinar número dos gêneros conhecidas suas idades.

(Unicamp-SP) A média aritmética de um grupo de $120$ pessoas é de $40$ anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de $35$ anos e a dos homens é de $50$ anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?

Resolução:

A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.

Chamando de $h$ o número de homens, teremos:

$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$

$4800\ =\ 15h + 4200$

$h\ =\ 40$

Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.

Demonstração: dados $(p,q)\in(\mathbb{R}_+)^2$, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica.

Consideremos o real $x$ tal que:

$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$

$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$

Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.

Como queríamos demonstrar.